MA TRẬN TRỰC GIAO LÀ GÌ

Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký kết hiệu bởi một phát triển thành với hai chỉ số làm việc bên dưới. lấy một ví dụ, a2,1 trình diễn bộ phận ngơi nghỉ sản phẩm sản phẩm công nghệ hai với cột đầu tiên của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

Quý khách hàng vẫn xem: Ma trận trực giao là gì

Trong toán thù học, ma trận là một trong mảng chữ nhật<1>—những số, ký kết hiệu, hoặc biểu thức, thu xếp theo hàng và cột<2><3>—cơ mà mỗi ma trận tuân theo số đông phép tắc định trước. Từng ô vào ma trận được Điện thoại tư vấn là những phần tử hoặc mục. lấy ví dụ một ma trận tất cả 2 mặt hàng cùng 3 cột.

. 1&9&-13\20&5&-6end}.}

Khi những ma trận có cùng kích cỡ (chúng có thuộc số sản phẩm và cùng số cột), thì rất có thể thực hiện phép cùng hoặc trừ hai ma trận trên những bộ phận khớp ứng của bọn chúng. Tuy thế, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể triển khai được Khi ma trận thứ nhất tất cả số cột thông qua số sản phẩm của ma trận thứ nhị. Ứng dụng chủ yếu của ma trận đó là phnghiền trình diễn những chuyển đổi tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa hàm con đường tính nhỏng f(x) = 4x . lấy một ví dụ, phxay quay các vectơ trong không khí ba chiều là một phxay chuyển đổi tuyến tính cơ mà hoàn toàn có thể màn biểu diễn bằng một ma trận tảo R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ tất cả một cột) diễn đạt địa chỉ của một điểm trong không gian, tích của Rv là một trong những vec tơ cột diễn đạt địa chỉ của điểm đó sau phép xoay này. Tích của hai ma trận đổi khác là 1 trong ma trận màn biểu diễn vừa lòng của nhì phép biến hóa con đường tính. Một áp dụng khác của ma trận chính là tra cứu nghiệm của những hệ pmùi hương trình con đường tính. Nếu là ma trận vuông, rất có thể nhận được một số đặc thù của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu còn chỉ giả dụ định thức của nó không giống ko. Quan niệm hình học của một phép biến hóa tuyến tính là nhận thấy (cùng rất đa số lên tiếng khác) trường đoản cú trị riêng và vec tơ riêng biệt của ma trận.

cũng có thể thấy vận dụng của lý thuyết ma trận vào phần nhiều các lĩnh vực kỹ thuật. Trong từng nhánh của đồ vật lý học tập, bao gồm cơ học tập cổ điển, quang đãng học, điện tự học tập, cơ học tập lượng tử, với điện rượu cồn lực học lượng tử, bọn chúng được áp dụng để nghiên cứu các hiện tượng lạ đồ dùng lý, nhỏng chuyển động của thứ rắn. Trong bối cảnh máy vi tính, ma trận được sử dụng để chiếu một hình họa 3 chiều lên màn hình hiển thị 2 chiều. Trong lý thuyết Tỷ Lệ cùng những thống kê, các ma trận thốt nhiên được áp dụng để mô tả tập phù hợp những xác suất; ví dụ, bọn chúng cần sử dụng vào thuật tân oán PageRank để xếp thứ hạng những trang vào lệnh tra cứu kiếm của Google.<4> Phép tính ma trận tổng thể hóa những có mang trong giải tích nlỗi đạo hàm cùng hàm nón đối với số chiều to hơn.

Một nhánh chính của giải tích số dành để phát triển những thuật toán có ích cho các tính toán thù ma trận, một chủ thể đang hàng nghìn năm tuổi và là 1 nghành nghề dịch vụ nghiên cứu và phân tích rộng thời buổi này. Pmùi hương pháp knhì triển ma trận làm đơn giản dễ dàng hóa những tính toán thù cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật tân oán dựa vào phần nhiều cấu trúc của các ma trận quan trọng đặc biệt, nhỏng ma trận thưa (sparse) cùng ma trận ngay sát chéo cánh, góp xử lý đều tính toán vào phương pháp bộ phận hữu hạn với đều tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện thêm vào cơ học thiên thể với kim chỉ nan nguyên tử. Một ví dụ dễ dàng và đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận màn biểu diễn những toán tử đạo hàm, nhưng mà công dụng cho chuỗi Taylor của một hàm số.

Định nghĩa

Ma trận là 1 trong những mảng chữ nhật chứa những số hoặc phần đa đối tượng người dùng toán thù học tập khác, nhưng hoàn toàn có thể tư tưởng một số phép toán thù nlỗi cộng hoặc nhân bên trên các ma trận.<5> Hay gặp tuyệt nhất sẽ là ma trận bên trên một trường F là 1 mảng chữ nhật đựng các đại lượng vô vị trí hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cập tới những ma trận thực cùng phức, tức là những ma trận nhưng các bộ phận của nó là phần nhiều số thực hoặc số phức. Những một số loại ma trận tổng thể hơn được trao đổi ngơi nghỉ bên dưới. lấy ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,6\trăng tròn,4&5,5\9,7&-6,2end}.}

Các số, ký kết hiệu giỏi biểu thức vào ma trận được Hotline là các phần tử của nó. Các mặt đường theo pmùi hương ngang hoặc phương thơm dọc chứa những phần tử trong ma trận được Hotline tương ứng là sản phẩm với cột.

Độ to

Độ phệ xuất xắc cỡ của ma trận được tư tưởng bởi số lượng sản phẩm với cột nhưng ma trận có. Một ma trận m sản phẩm và n cột được Điện thoại tư vấn là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong những lúc m với n được call là chiều của chính nó. lấy ví dụ như, ma trận A sinh sống bên trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ gồm một mặt hàng call là vectơ hàng, cùng phần đông ma trận chỉ có một cột call là vectơ cột. Ma trận có cùng số mặt hàng và số cột được Hotline là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số mặt hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được điện thoại tư vấn là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như công tác đại số máy tính xách tay, vẫn có ích lúc xét một ma trận nhưng không tồn tại mặt hàng hoặc không tồn tại cột, goi là ma trận rỗng.

Tên call Độ bự lấy một ví dụ Miêu tả Vectơ mặt hàng 1 × n 3&7&2end}}


Ma trận có một cột, đôi khi được dùng để làm màn biểu diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&5\1&11&7\2&6&3end}}

Ma trận tất cả thuộc số mặt hàng cùng số cột, nó được sử dụng nhằm màn trình diễn phxay biến hóa đường tính xuất phát từ 1 không gian vec tơ vào thiết yếu nó, như phxay phản xạ, phnghiền cù hoặc ánh xạ cắt.

Lịch sử

Ma trận tất cả một lịch sử dài về vận dụng vào giải các phương thơm trình đường tính nhưng bọn chúng được nghe biết là những mảng cho tới tận trong năm 1800. Cuốn nắn sách Cửu chương toán thù thuật viết vào khoảng năm 152 TCN đưa ra phương thơm trận để giải hệ năm pmùi hương trình con đường tính,<8> bao hàm khái niệm về định thức. Năm 1545 đơn vị toán học bạn Ý Girolamo Cardano reviews cách thức giải này vào châu Âu Lúc ông công bố quyển Ars Magmãng cầu.<9> Nhà toán học nước Nhật Seki vẫn áp dụng phương thức mảng này để giải hệ phương trình vào khoảng thời gian 1683.<10> Nhà tân oán học Hà Lan Jan de Witt lần trước tiên biểu diễn những chuyển đổi dưới dạng ma trận mảng vào cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).

Xem thêm: Thế Nào Là Đơn Vị Dự Toán Cấp 1 Là Gì ? Quy Định Pháp Luật Về Đơn Vị Dự Toán

<11> Giữa những năm 1700 với 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz chào làng phương thức sử dụng các mảng nhằm ghi lại thông tin giỏi kiếm tìm nghiệm với phân tích bên trên 50 loại ma trận khác biệt.<9> Cramer chỉ dẫn nguyên tắc của ông vào khoảng thời gian 1750.

Thuật ngữ vào tiếng Anh "matrix" (giờ đồng hồ Latin là "womb", dẫn xuất từ bỏ mater—mẹ<12>) bởi James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850,<13> lúc ông phân biệt rằng ma trận là một trong những đối tượng người sử dụng làm cho lộ diện một vài định thức nhưng mà thời buổi này Điện thoại tư vấn là phần phú đại số, có nghĩa là định thức của không ít ma trận nhỏ tuổi rộng thu được trường đoản cú ma trận lúc đầu bằng cách xóa đi các mặt hàng với những cột. Trong một bài xích báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đang định nghĩa trong bài báo trước về "Ma trận" là 1 trong mảng chữ nhật đựng các phần tử, cơ mà đông đảo định thức khác nhau có thể giới thiệu định thức của ma trận mẹ.<14>

Arthur Cayley đăng một chăm luận về những phxay biến đổi hình học sử dụng ma trận ngoài những phnghiền biến hóa cù đã có điều tra khảo sát trước kia. Tgiỏi vào đó, ông khái niệm những phép tân oán như cộng, trừ, nhân và phân tách phần lớn ma trận này với chứng minh những luật lệ kết hợp và phân pân hận vẫn được thỏa mãn nhu cầu. Cayley đã phân tích với minh chứng đặc điểm ko giao hân oán của phxay nhân ma trận cũng giống như tính giao hoán thù của phnghiền cộng ma trận.<9> Lý tmáu ma trận sơ knhì bị số lượng giới hạn làm việc giải pháp sử dụng các mảng với tính định thức cùng các phxay tân oán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đang làm ra cuộc cách mạng mang lại triết lý này. Ông vận dụng định nghĩa ma trận mang lại hệ phương thơm trình tuyến đường tính độc lập. Năm 1858 Cayley chào làng Hồi cam kết về kim chỉ nan ma trận<15><16> trong các số ấy ông nêu ra với minh chứng định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà toán học tập fan Anh Cullis là fan trước tiên thực hiện ký kết hiệu ngoặc hiện đại đến ma trận vào khoảng thời gian 1913 với ông cũng viết ra ký kết hiệu đặc trưng A = nhằm biểu diễn một ma trận với ai,j là thành phần sống hàng thiết bị i với cột thiết bị j.

Xem thêm: Cách Lấy Địa Chỉ Ví Remitano, Cách Lấy Địa Chỉ Ví Sàn Tiền Số Remitano

<9>

Quá trình nghiên cứu định thức khởi nguồn từ một vài mối cung cấp không giống nhau.<17> Các bài xích tân oán số học tập dẫn Gauss đi tới contact các hệ số của dạng toàn phương, đầy đủ nhiều thức bao gồm dạng x2 + xy − 2y2, với ánh xạ đường tính vào không gian ba chiều cùng với ma trận. Eisenstein đang cách tân và phát triển xa rộng những tư tưởng này, với dìm xét theo cách phạt bộc lộ đại rằng tích ma trận là ko giao hoán. Cauchy là fan thứ nhất minh chứng phần nhiều mệnh đề bao quát về định thức, lúc ông thực hiện có mang nhỏng sau về định thức của ma trận A = : thay thế lũy thừa ajk bởi ajk trong nhiều thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

Ma trận thường xuyên được viết trong vệt ngoặc vuông:

A = . =a_&a_&cdots &a_\a_&a_&cdots &a_\vdots &vdots &ddots &vdots \a_&a_&cdots &a_end}.}